عنوان :

تحقیق مدول‌هایی که عدد اصلی تصویر همریختی سره آنها کوچکتر

هستند

تعداد صفحات : ۶۷

نوع فایل : ورد و قابل ویرایش

چکیده

در این پایان نامه ابتدا به معرفی رده‌ای از مدول‌ها و حلقه با عنوان مدول‌های  و  می‌پردازیم. سپس به اثبات وجود مثال‌های نابدیهی از این دست مدول‌ها به ازای هر عدد اصلی دلخواه تحت شرایط مشخص روی دامنه‌های نوتری و غیر نوتری می‌پردازیم. به عنوان کاربردی از نتایج مطرح شده، مسئله کاپلانسکی را تعمیم می‌دهیم. سپس رابطه بین مدول‌های جانسون و مدول‌های  را بررسی می‌کنیم. در نهایت به  مساله‌ی باز وجود مدول‌های جانسون ناشمارا روی دامنه‌های غیر میدان پاسخ می‌دهیم.

این پایان نامه شامل پنج فصل می باشد.در فصل اول به مفاهیم اساسی و تعاریفی که در این پایان نامه مورد نیاز می باشد اشاره می کنیم.

در فصل دوم تعریفی از مدولهای  (به طور خلاصه )بیان کرده و به بررسی وجود دامنه های نوتری و غیر نوتری با کاردینالیتیه مشخص و قضایای مربوط به آنها می پردازیم.

در فصل سوم مدول های  بدون شرط نوتری بودن حلقه در نظر می گیریم و شرط لازم و کافی برای وجود مدول های  می پردازیم.

در فصل چهارم به مدول های  و مدول های جانسون و ارتباط آنها با مدول های  می پردازیم.

و در نهایت در فصل پنجم نتیجه گیری کلی از پایان نامه بیان کرده و موضوعاتی جهت تحقیقات آتی پیشنهاد می کنیم.

واژه های کلیدی: حلقه جابجایی، میدان، ایده آل حلقه، مدول ، مجموعه مولد، همریختی مدول

مقدمه   ه
چکیده:    و
فصل اول.    ۱
مفاهیم اساسی ومقدمات:    ۱
۱-۱ مقدمه    ۱
۱-۲ طرح موضوع    ۲
۱-۳ بیان مساله    ۲
۱-۴ اهمیت و ضرورت انجام تحقیق    ۲
۱-۵ مرور ادبیات و سوابق مربوطه    ۳
۱-۶ اهداف پژوهش    ۴
۱-۷ فرضیه‌ها و پرسش‌ها    ۴
۱-۸ تعریف واژه‌ها و مقدمات مورد نیاز    ۵
۱-۸-۱  مروری بر نظریه حلقه‌ها و مدول‌ها    ۵
۲-۸-۱ همریختی مدول‌ها    ۱۳
۳-۸-۱ مدول‌های نوتری    ۱۵
‎۴-۸-۱ حلقه‌ی گروهی    ۲۰
۵-۸-۱ موضعی سازی یک حلقه    ۲۱
۶-۸-۱ حلقه ارزیابی و حلقه ارزیابی گسسته    ۲۳
۷-۸-۱ سری توانی و سری لوران    ۲۶
۸-۸-۱ اعداد کاردینال و اوردینال    ۲۸
۹-۸-۱ حساب اعداد اصلی    ۳۰
‍۱۰-۸-۱ اعداد ترتیبی    ۳۱
وجود چند نوع ساختار جبری به ازای یک کاردینال دلخواه    ۳۳
فصل دوم مدول‌های hsروی دامنه‌های نوتری    ۳۵
۲-۱ مقدمه    ۳۵
۲-۲ دامنه‌های hs نوتری    ۳۶
۲-۳ دامنه‌های hs غیر نوتری    ۳۹
فصل سوم مدول‌های hs در حالت کلی    ۴۴
فصل چهارم  مدول‌های hf ومدول‌های جانسون    ۵۰
۴-۱ مقدمه    ۵۰
۴-۲ مدول‌های    ۵۱
۴-۳ مدول‌های جانسون و ارتباط  آنها با مدول‌های    ۵۳
فصل پنجم. نتیجه گیری و پیشنهادات.    ۵۶
واژه نامه    ۵۷
مراجع ۵۸
چکیده انگلیسی۶۰

مراجع:

[۱] K. Chew and S. Lawn, Residually finite rings. Canad. J. Math22(1970), 92-101

[۲]E. Coleman, Jonsson groups, rings, and algebras. Irish Math. Soc. Bull. No. 36 (1996), 34-45.

[۳]R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory. Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics 90.  Queen’s University, Kingston, ON, 1992.

[ ۴]R. Gilmer and W. Heinzer, An application of Jonsson modules to some questions concerning proper subrings. Math. Scand. 70(1992), no. 1, 34-42.

[۵] R. Gilmer and W. Heinzer , Cardinality of generating sets for ideals of a commutative ring. Indiana Univ. Math. J. 26(1977), no. 4, 791-798. http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1977.26.26062

[ ۶] R. Gilmer and W. Heinzer, Cardinality of generating sets for modules over a commutative ring. Math. Scand. 52( 1983), no. 1, 41-57.

[۷] R. Gilmer and W. Heinzer ,On Jonsson algebras over a commutative ring. J. Pure Appl. Algebra 49(1987), no. 1-2, 133-159. http://dx.doi.org/10.1016/50022-4049(87)80009-9

[۸] R. Gilmer and W. Heinzer, On Jonsson modules over a commutative ring. Acta Sci. Math. 46(1983), no. 1-4, 3-15.

[۹] B. A. Jensen and D. W. Miller, Commutative semigroups which are almost finite. Pacific J. Math. 27(1968), 533-538.

[ ۱۰] I. Kaplansky, Infinite Abelian Groups. The University of Michigan Press, Ann Arbor, Michigan, 1954.

[ ۱۱] K. Kearnes and G. Oman, Cardinalities of residue fields of Noetherian integral domains. Comm. Algebra 38(2010), no. 10, 3580-3588. http://dx.doi.org/10.1080/00927870903200893

[ ۱۲] K. Levitz and J. Mott, Rings with finite norm property. Canad. J. Math. 24( 1972), 557-565[ 13] G. Oman, Jonsson modules over commutative rings. In: Commutative Rings: New Research. Nova Science Publishers, New York, 2009, pp. 1-6.

[۱۴] G. Oman ,Irmsson modules over Noetherian rings. Comm. Algebra 38(2010), no. 9, 3489-3498

[۱۵] G. Oman, Some results on J6nsson modules over a commutative ring. Houston J. Math. 35(2009), no. 1, 1-12.

[۱۶]M. Orzech and L. Ribes, Residual finiteness and the Hopft property in rings. J. Algebra 15(1970), 81-88. http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(70)90087-6

[ ۱۷] R. Tucci, Commutative semigroups whose proper homomorphic images are all of smaller cardinality.  Kyungpook Math. J. 46 2006), no. 2, 231-233.

[۱۸]K. Varadarajan, Residual finiteness in rings and modules. J. Ramanujan Math. Soc. 8( 1993), no. 1-2, 29-48.

مقدمه:

این پایان نامه شامل پنج فصل می باشد.در فصل اول به مفاهیم اساسی و تعاریفی که در این پایان نامه مورد نیاز می باشد اشاره می کنیم.

در فصل دوم تعریفی از مدولهای  (به طور خلاصه )بیان کرده و به بررسی وجود دامنه های نوتری و غیر نوتری با کاردینالیتیه مشخص و قضایای مربوط به آنها می پردازیم.

در فصل سوم مدول های  بدون شرط نوتری بودن حلقه در نظر می گیریم و شرط لازم و کافی برای وجود مدول های  می پردازیم.

در فصل چهارم به مدول های  و مدول های جانسون و ارتباط آنها با مدول های  می پردازیم.

و در نهایت در فصل پنجم نتیجه گیری کلی از پایان نامه بیان کرده و موضوعاتی جهت تحقیقات آتی پیشنهاد می کنیم.

فصل اول

مفاهیم اساسی ومقدمات

 ۱-۱ مقدمه

تعمیم ساختار‌های اساسی جبر می‌تواند به برخی پرسش‌ها که پاسخ آنها در دست نیست کمک کند و خود باعث مطرح شدن پرسش‌های جالب و مفید دیگر شود.  به عنوان مثال مسائلی در باب گروه‌های آبلی آزاد با تعمیم مفهوم فضای برداری به صورت مدول پاسخ داده می‌شود. به عنوان مثالی دیگر می‌توان به نظریه گالوا اشاره نمود که در تلاش برای پاسخ به پرسشی بنیادین درباب حل پذیری چندجمله‌ای‌های درجه ۵ به بالا توسط رادیکال‌ها، مفهوم حل پذیری را تعمیم می‌دهد.

در این پایان نامه به بررسی و معرفی رده‌ایی از مدول‌ها موسوم به مدول‌های  می‌پردازیم و نشان می‌دهیم چگونه این مدول‌ها می‌توانند مسئله کاپلانسکی را که در [۱۰] مطرح شده را تعمیم دهند و همچنین مساله‌ی وجود مدول‌های جانسون با عدد اصلی ناشمارای دلخواه را حل کنند.

 ۱-۲ طرح موضوع

در این پایان نامه ابتدا به معرفی رده‌ای از مدول‌ها و حلقه با عنوان مدول‌های  و  می‌پردازیم. سپس به اثبات وجود مثال‌های نابدیهی از این دست مدول‌ها به ازای هر عدد اصلی دلخواه تحت شرایط مشخص روی دامنه‌های نوتری و غیر نوتری می‌پردازیم. به عنوان کاربردی از نتایج مطرح شده، مسئله کاپلانسکی را تعمیم می‌دهیم. سپس رابطه بین مدول‌های جانسون و مدول‌های  را بررسی می‌کنیم. در نهایت به  مساله‌ی باز وجود مدول‌های جانسون ناشمارا روی دامنه‌های غیر میدان پاسخ می‌دهیم.

 ۱-۳ بیان مساله

فرض کنید  یک حلقه جابجایی و یکدار،  یک مدول یکانی روی  باشد. مدول   را   مدول ، (برای خلاصه نویسی مدول ) می‌گوییم هرگاه  نامتناهی باشد و برای هر زیرمدول ناصفر ،از  داشته باشیم .  به عنوان مثال‌های بدیهی از مدول‌های  می‌توان به میدان‌ها اشاره کرد. مساله اصلی این پایان نامه  بررسی شرایطی است که تحت آن به ازای یک عدد کاردینال دلخواه مانند  ، یک مدول  با کاردینال  وجود داشته باشد. این مساله را ابتدا برای مدول‌ها روی دامنه‌های نوتری بررسی می‌کنیم و سپس به حالت کلی می‌پردازیم.

 ۱-۴ اهمیت و ضرورت انجام تحقیق

با توجه به اینکه شاخه جبر یکی از پویا ترین گرایش‌های ریاضیات می‌باشد، این تحقیق می‌تواند برای محققین این رشته در زمینه دانش های بنیادین مورد استفاده قرار گیرد.

۱-۵ مرور ادبیات و سوابق مربوطه

کاپلانسکی در [۱۰] این مسئله را مطرح کرد که  تنها گروه آبلی نامتناهی با این خاصیت است  که برای هر زیر گروه نابدیهی مانند  ازآن  متناهی می‌باشد. جنسن و میلر [۹] این مساله را برای نیم گروه‌های جابجایی مطرح کردند. آنها نیم گروه جابجابی و نامتناهی  را به صورت همومورفیسم متناهی[۱] تعریف کردند( به طور خلاصه ) با این شرط که هر تصویر همومورفیسم  متناهی باشد. آنها سپس تمامی نیم گروه‌های جابجایی  را رده بندی کردند. توچی[۲] در [۱۷] یک نیم گروه نامتناهی  را  نامید اگر و تنها اگر هر تصویر همومورفیسم  کاردینال کمتر از   داشته باشد. او نشان داد که نیم گروه‌های  و  معادل هستند.

چئو و لوان[۳] [۱] حلقه یکدار  را باقیمانده متناهی[۴] تعریف کردند اگر و تنها اگر هر تصویر همومورفیسم  متناهی باشد. آنها نتایج متعددی را درباره این نوع حلقه‌ها اثبات کردند. لویتز و موات[۵] نتایج آنها را به حلقه‌های فاقد ۱ تعمیم دادند [۱۲]. متاسفانه در ادبیات تعریف دیگری با همین نام وجود دارد که متفاوت می‌باشد. اوتیخ و ریبز[۶] [۱۶] یک حلقه شرکت پذیر  را باقیمانده متناهی تعریف کردند اگر و تنها اگر برای هر عضو ناصفر  یک ایدال دو طرفه  از  چنان موجود باشد که   و  متناهی باشد.

واردارجان[۷] [۱۸] این تعریف را برای مدول‌ها به این صورت تعمیم داد : – مدول   باقیمانده متناهی تعریف می‌شود اگر و تنها اگر برای هر عضو ناصفر   یک زیرمدول  از  چنان موجود باشد که   و   متناهی باشد.

 ۱-۶ اهداف پژوهش

هدف این پژوهش معرفی مدول‌های  و   و اثبات وجود مثال‌های نابدیهی از این نوع مدول‌ها روی دامنه‌های نوتری و دامنه‌های غیر نوتری است. سپس از نتایج بدست آمده استفاده می‌کنیم و تعمیمی از مساله کاپلانسکی را معرفی می‌سازیم.  در نهایت مدول‌های  معرفی می‌شوند و جواب یک مساله باز در مدول‌های جانسون بررسی می‌شود.

 ۱-۷ فرضیه‌ها و پرسش‌ها

در این پایان‌نامه همواره فرض می‌کنیم حلقه‌ها جابجائی و یکدار باشند. سوالاتی که در این پایان نامه به آنها پاسخ داده خواهد شد به شرح زیر است،

۱- تحت چه شرایطی یک مدول  نابدیهی روی یک دامنه نوتری  می‌تواند وجود داشته باشد.

۲. برای یک دامنه صحیح نوتری مانند  که میدان متناهی نیست چه رابطه‌ایی بین کاردینال  و کاردینال  بر قرار است که در آن  یک ایدال سره از  است.

۳. فرض کنید  یک حلقه و  یک ایدال متناهیا تولید شده از  باشد. در این صورت اگر  متناهی باشد آیا می‌توان نتیجه گرفت برای هر عدد صحیح مثبت  ،   متناهی است؟ و در صورت مثبت بودن جواب رابطه بین کاردینال‌های آنها چیست؟

۴. اگر  یک عدد کاردینال باشد در این صورت تحت چه شرایطی یک دامنه  نوتری با کاردینالیته  وجود دارد.

۵٫ برای یک مدول  روی یک حلقه ، چه رابطه‌ایی بین کاردینال – مدول  و کاردینال زیرمدول‌های آن و بین کاردینال  بر قرار است؟

۶٫ تحت چه شرایطی یک مدول  روی دامنه‌ی غیر نوتری وجود دارد.

۷٫ برای یک عدد کاردینال ناشمارای دلخواه مانند ، آیا یک مدول جانسون با کاردینال  وجود دارد؟

 ۱-۸ تعریف واژه‌ها و مقدمات مورد نیاز.

در این بخش مفاهیم اساسی مورد نیاز در ادامه‌ی این پایان نامه یادآوری می‌شوند. کلیه اثبات‌ها را می‌توان در کتاب‌ جبر پیشرفته نظیر [۱۹] یا [۲۰] یافت.

 ۱-۸  مروری بر نظریه حلقه‌ها و مدول‌ها

تعریف ۱-۸-۱٫ مجموعه  با دو عمل  و  یک حلقه می‌نامیم هرگاه  یک گروه آبلی و  یک نیم‌گروه باشد. اگر حلقه  تحت عمل  جابجایی باشد آنگاه  را یک حلقه جابجایی می‌نامیم.

مثال ۱-۸-۲٫ مجموعه  همراه با جمع و ضرب کلاسها یک حلقه جابجایی است.

مثال ۱-۸-۳٫ مجموعه اعداد صحیح فرد با جمع و ضرب معمولی یک حلقه نیست .زیرا نسبت به عمل جمع بسته نمی باشد.

تعریف ۱-۸-۴٫ فرض می کنیم  زیر مجموعه ناتهی از حلقه  باشد .آنگاه  زیر حلقه  نامیده میشود هرگاه  با همان جمع و ضرب تعریف شده در  تشکیل حلقه دهد.