تازمانی که این در ریاضیات رسمی درست است ، بسیاری از توابع که دراین زمینه توصیف می‌شوند نمی توانند به طور مناسبی برای تصوریک مجموعه فازی تفسیر شوند . به عبارت دیگر، توابعی که X را به بازه واحد می برند ممکن است مجموعه های فازی باشند ولی تنها زمانی مجموعه فازی می شوند که یک سری ویژگی های غیر دقیق ولی ذاتی ، منطقی وتوصیفی را با اعضای X تطبیق دهند.

اولین سؤال و در واقع سؤالی که معمولا درمورد این طرح پرسیده می شود ، مربوط است به رابطه فازی واحتمال . آیا مجموعه های فازی یک مبدل هوشمند برای مدل های آماری است ؟ درواقع نه . شاید یک مثال کمک کند.

مثال ۱: مجموعه همه آب ها رابه عنوان مجموعه جهانی درنظر بگیرید وهمچنین مجموعه فازی { مایعات قابل آشامیدن }‌=‌L را داریم . فرض کنید شما یک هفته بدون مایعات درصحرا بوده اید وحالا دو بطری A وB دارید. به شما گفته می شود که عضویت (فازی) مایع درون A در L ، ۹/۰ وهمچنین احتمال اینکه مایع درون B متعلق به L باشد هم ۹/۰ است. به عبارت دیگر A شامل مایعی است که با درجه عضویت ۹/۰ قابل شرب است درحالی که B شامل مایعی است که به احتمال ۹/۰ قابل شرب است . با این جفت بطری مواجه می شوید وباید ازیکی که انتخاب کرده اید بنوشید ، اول کدام را برای نوشیدن انتخاب می کنید ؟ چرا؟ بعلاوه بعداز مشاهده درباره محتوای دو بطری مقدار (محتمل) برای عضویت واحتمال چه می‌باشد؟ [ پاسخ این معما درکلاس بحث می شود ] سؤتفاهم رایج دیگردرباره مدل های فازی این است که آن ها به عنوان جایگزین هایی برای مدل های Crisp (یا احتمالاتی) پیشنهاد می شدند. برای توضیح این مسئله نخست از شکل های ۱و۲ توجه کنید که هرمجموعه Crisp فازی است ولی نه برعکس . بسیاری از طرح ها که ازایده فازی استفاده می کنند آن را از طریق محاط کردن وجا دادن بکار می برند یعنی ما تلاش می کنیم تا ساختارقراردادی را حفظ کنیم وبه آن اجازه می دهیم تا درخروجی هرزمان که می‌تواند و هرزمان که باید برجسته شود.

مثال ۲ : وضع ریاضی‌دان اولیه را درنظر بگیرید ، او می دانند که سری تیلور برای تابع حقیقی (زنگی شکل)  در  واگرا است ولی نمی تواند بفهمد چرا ، مخصوصا که f دراین نقاط بی نهایت بار مشتقپذیر است. امروزه به عنوان دانش معمول هر دانش آموز ازتوابع مختلط تابع  دو قطب در  دارد. بنابراین تابع مختلط که محاط شده به وسیله صورت کسر است ، نمی تواند بسط سری توانی همگرا درنقطه ای روی مرز دایره به شعاع واحد درصفحه داشته باشد ؛ درحالت خاص در  ، یعنی درنقاط حقیقی   . این مثال یک اصل کلی در ریاضیات مدلی را نشان می دهد . یک مسئله حقیقی (ظاهراً لاینحل) را درنظر بگیرید ؛ فضا را گسترش بدهید وجواب را دراین فوق مجموعه[۱] خیالی جستجو کنید درنهایت جواب بدست آمده را به قیدهای حقیقی اولیه محدود کنید.

درمثال ۲ ما درمورد پیچیده سازی[۲] تابع f بوسیله محاط کردن یا درنظر گرفتن اعداد حقیقی درصفحه مختلط صحبت کردیم ، درادامه با عمل آسان سازی[۳] ازنتیجه کلی برای حل مسئله اصلی استفاده می کنیم . بسیاری از مدل‌های فازی از طرح مشابهی پیروی می‌کنند مسئله های واقعی که شامل عدم قطعیت های آماری نمی باشند ابتدا « فازی» می شوند سپس یک نوع آنالیز وتحلیل برروی مسئله بزرگترصورت می گیرد و درنهایت نتیجه برای حل مسئله اصلی خاص و ویژه می شود. درمثال ۲ بازگشت به خط حقیقی عمل آسان سازی نامیده می شود ؛ درمدل های فازی این بخش ازفرآیند به عنوان دقیق سازی[۴] شناخته می شود. این عمل معمولا ضروری است ، البته هرچند که ما به یک دانش آموز آموزش می دهیم تا « از ترمز خیلی زود استفاده کند» ولی درحقیقت پدال ترمز دریک لحظه باید درست وآماده عمل کند. به عبارت دیگرما نمی توانیم یک موتور را نصحت کنیم که « تند حرکت نکن » هرچند که این دستورالعمل از کنترل کننده فازی می آید ولی ما باید ولتاژومقدار آن را به مقدار مخصوص ومعینی تغییردهیم مثال ۲ نشان می دهد که این به سختی یک ایده یا داستان است ؛ درعوض باید به آن به عنوان روشی سودمند توجه کنیم.

مثال ۳:به عنوان آخرین وشاید واقعیترین مثال درمورد کاربرد مدل های فازی ، سیستمی که درشکل ۳ نشان داده شده را درنظر بگیرید که یک آونگ وارونه ساده را نشان می دهد . این آونگ برای چرخش درصفحه شکل وحول محور متصل به ماشین آزاداست. مسئله کنترل این است که با وارد کردن یک نیروی باز گرداننده F(t) درلحظه t ، درپاسخ به تغییرات خطی وزاویه ای موقعیت یا سرعت ، پاندول را درهمه زمان ها عمود نگه داریم . این مسئله می‌تواند به روش های مختلفی فرموله شود. دریکی از ساده ترین صورت ها از تئوری کنترل استفاده می شود . خطی سازی معادلات حرکت به یک مدل از سیستم منتهی می شود که ویژگی های ثبات واستحکام توسط امتحان بخش حقیقی مقادیر ویژه  ازماتریس  ثابت های سیستم مشخص می گردد. مسیر پایین در شکل ۳ این حالت را نشان می دهد . همانطور که در وسط مسیر پایین شکل ۳ نشان داده شده اگر  آنگاه پاندول ثابت وساکن خواهد ماند. این رویه درمهندسی کنترل بسیار پیش پا افتاده است تا آنجا که بسیار از طراحان اصلا درمورد استفاده ازاعداد موهومی درحل مسایل حقیقی فکرنمی کنند ، ولی واضح است که این روند دقیقا مانند مثال ۲ است – یک مسئله حقیقی با گذر موقت به یک مجموعه بزرگتر وخیالی ، تحلیل موقعیت درابرمجموعه ودرنهایت با خاص کردن[۵] نتیجه برای بدست آوردن جواب دلخواه حل می شود.

[۱]-Conventional