عنوان :

مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن

تعداد صفحات : ۶۷

نوع فایل : ورد و قابل ویرایش

چکیده

مقاله حاضر به بررسی کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار وانتگرال کانولوشن می پردازد. هدف ما در این فصل این بود که عمدتاًبه کمک مثال نشان دهیم که چگونه می توان با استفاده از تبدیل لاپلاس پاسخ گذاری مدارهای خطی پارامتر – فشرده را به دست آورد.

چنانچه مدار مورد تحلیل را مستقیماً به حوزه s تبدیل کنیم روش تبدیل لاپلاس بسیار ساده خواهد شد.

مدارهای هم ارز حوزه‌بسامدی شامل منابع مستقل ولتاژ و جریان است که برای به حساب آوردن ولتاژ اولیه خازن و جریان اولیه القاگر منظور می شوند. قوانین کیرشهف برای جریانها و ولتاژهای حوزه s به قوت خود باقی است. رابطه ولتاژ و جریان پایانه های عناصرغیرفعال را همیشه می توان به کمک پاگیرایی (امپدانس) و منبع مستقلی که برای شرایط اولیه منظور می شود به دست آورد. چنانچه شرایط اولیه صفر باشند این رابطه همان قانون اهم در حوزه s یعنی V=Z(s) I خواهد بود. از آنجا که این قوانین بنیادی در حوزه s قابل اجرا هستند،‌میتوان از روشهای تحلیل مدار که در مورد مدارهای مقاومتی با مدارهای حوزه فازبرداری به کار می رفتند استفاده کرد.

توابع ضربه موجود در مدار یا ناشی از عمل قطع و وصل کلید هستند یا از مشخصه های منبع تحریک مدارند. روش تبدیل لاپلاس دقیقاً ایجاد پاسخ ضربه را پیش بینی می کند و پاسخ به منبع تحریک ضربه را به درستی نشان می دهد. این توانایی تطبیق با توابع ضربه از مزایای ممتاز روش تبدیل لاپلاس است. برای بررسی صحت نتایج در مدارهایی که در آنها فرایند کلیدزنی روی می دهد و نیز بررسی سازگاری این نتایج با عملکرد مدار، استفاده از اصل بقای بار در مدارهای ظرفیتی و از اصل بقای حلقه زنی شار در مدارهای القایی سودمند است.

واژه های کلیدی: تبدیل لاپلاس، تحلیل مدار، انتگرال کانولوشن ، تابع تبدیل

فهرست مطالب

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار    ۱
۱۶-۱- مقدمه    ۱
۱۶-۲- عناصر مدار در حوزه s    ۲
۱۶-۳- تحلیل مدار در حوزه s    ۹
۱۶-۴ چند مثال تشریحی    ۱۰
۱۶-۵ تابع ضربه در تحلیل مدار    ۲۸
۱۶-۶ خلاصه    ۴۶
۱۷-۵- تابع تبدیل و انتگرال کانولوشن    ۴۸
مراجع    ۶۴

 مراجع :

ارنست کوه و چارلز دسور ، نظریه اساسی مدارها و شبکه ها ( جلد دوم ) ، ترجمه ی دکتر پرویز جبه دار مارالانی ، انتشارات دانشگاه تهران.

دکتر بهمن دولتشاهی ،معادلات حالت بر اساس مشخص سازی چند قطبی شبکه ها( بخش اول) ، متن درسی ، دانشکده فنی دانشگاه تهران.

دکتر بهمن دولتشاهی ،معادلات حالت بر اساس مشخص سازی چند قطبی شبکه ها  ( بخش دوم) ، متن درسی ، دانشکده فنی دانشگاه تهران.

کتاب تحلیل مدارهای الکتریکی ، نوشته‌ی جیمز ویلیام نیلسون  ، ترجمه علی کافی ، مرکز نشر دانشگاهی تهران .

مقاله مشترک مهدی ربانی و آرش حجام در هفتمین کنفرانس دانشجویی مهندسی برق ایران – دانشگاه خواجه نصیرالدین طوسی.

  P.M. DeRusso et al, State Variables for Engineers, Wiley, 1965, pp.330 and 382.

Robert R.Boyd , A Simplified Algorithm for State Space Circuit Analysis ,TechOnline.com

Robert R.Boyd ,The DC Superposition Method of Analog Circuit Analysis ,MathWorks

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار

۱۶-۱- مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است. نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیه متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند. اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش ۱۵-۷ اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کننده مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزهs به دست آوریم. این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزه تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزه sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کننده مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیه مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش ۱۶-۲- هم از عناصر را در حوزه s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزه s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزه s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزه s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

۱۶-۲- عناصر مدار در حوزه s

روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزه s ساده است. نخست رابطه ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطه جبری میان ولتاژ و جریان در حوزه s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم که رابطه میان جریان و ولتاژ در حوزه s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم

از آنجا که R ثابت است، تبدیل لاپلاس معادله (۱۶-۱) چنین است .

V=RI

که در آن بنا به معادله (۱۶-۲) مدار هم ارز یک مقاومت در حوزه s مقاومتی برابر R اهم است که جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.

مدارهای مقاومت در حوزه زمان و حوزه بسامد در شکل ۱۶-۱ دیده می شود به یاد داشته باشید که در تبدیل مقاومت از حوزه زمان به حوزه بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.

القاگری با جریان اولیه I_o در شکل ۱۶-۲ آمده است. معادله ولتاژ و جریان آن در حوزه زمان چنین است.

به کمک دو مدار مختلف می توان معادله (۱۶-۴) را تحقق بخشید. مدار هم از اول مداری است متشکل از یک امپدانس sL اهمی که با یک منبع ولتاژ مستقل _‎LI_o ولت ثانیه ای متوالی است. این مدار در شکل ۱۶-۳ دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزه بسامدی شکل ۱۶-۳ توجه کنید که جهت ولتاژ منبع LI_o بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (۱۶-۴) است توجه به این نکته نیز اهمیت دارد که I_o علامت جبری مخصوص به خود را دارد. یعنی چنانچه مقدار اولیه I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه I_o مقدار منفی دارد.

مدار هم از دیگری که معادله (۱۶-۴) را برآورده، می سازد متشکل است از یک امپدانس SL اهمی که با یک منبع جریان مستقل I_o/s آمپر ثانیه ای موازی است. این مدار هم ارز در شکل ۱۶-۴ آمده است.

برای به دست آوردن مدار هم از شکل ۱۶-۴ راههای مختلفی موجود است. یکی از این راهها حل معادله (۱۶-۴) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادله به دست آمده بنابراین به سادگی مشاهده می شود که مدار شکل ۱۶-۴ معادله (۱۶-۵) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شکل ۱۶-۴ عبارت اند از (۱) به دست اوردن هم از نور تن مدار شکل (۱۶-۳، (۲) به دست آوردن  جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادله به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل ۱۶-۱ و ۱۶-۲ به خواننده واگذار می شود.

قابل توجه است که هرگاه انرژی اولیه ذخیره شده در القا گر صفر باشد یعنی اگر I_o=o مدار هم ارز القا گر در حوزه بسامد به صورت القا گری با امپدانس sL اهم در می آید. این مدار در شکل ۱۶-۵ آمده است.

برای خازنهای با بار اولیه نیز دو مدار هم ارز در حوزه s وجود دارد. خازنی که با بار اولیه V_o ولت در شکل ۱۶-۶ دیده می شود. جریان خازن چنین است.

از معادله فوق دیده می شود که جریان I در حوزه بسامد از دو جریان شاخه ای تشکیل می شود یکی از شاخه ها از یک گذارایی به مقدار sc مو و دیگری از یک منبع جریان مستقل CV_o آمپر ثانیه ای تشکیل  می شود. این مدار هم ارز در شکل ۱۶-۷ آمده است.

از حل معادله (۱۶-۷) نسبت به V می توان مدار هم ارز متوالی خازن باردار را به دست آورد. بنابراین داریم

مداری که در شکل ۱۶-۸ آمده است تحقق معادله (۱۶-۸) است.

در مدارهای هم ارز شکلهای ۱۶-۷ و ۱۶-۸، علامت جبری خود را دارد. یعنی اگر جهت  خلاف جهت مبنای  باشد  مقداری منفی خواهد بود. اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد مدارهای هم ارز ساده می شوند و تنها امپدانس sc/1 اهمی باقی می ماند که در شکل ۱۶-۹ آمده است.

مدارهای حوزه بسامدی به دست آمده در این بخش در جدول ۱۶-۱ آمده اند. کاربرد این مدارها در بخش ۱۶-۴ نشان داده خواهد شد.

جهت دریافت و خرید متن کامل مقاله و تحقیق و پایان نامه مربوطه بر روی گزینه خرید انتهای هر تحقیق و پروژه کلیک نمائید و پس از وارد نمودن مشخصات خود به درگاه بانک متصل شده که از طریق کلیه کارت های عضو شتاب قادر به پرداخت می باشید و بلافاصله بعد از پرداخت آنلاین به صورت خودکار  لینک دنلود مقاله و پایان نامه مربوطه فعال گردیده که قادر به دنلود فایل کامل آن می باشد .